Résolution approchée de f(x)=0

Le principe de l'algorithme est donc le suivant.

Entrées

• Une fonction  \(f\) dont on cherche une valeur approchée d'une solution de l'équation  \(f(x)=0\) sur un intervalle.
  
• Un réel \(a\) , borne inférieure de l'intervalle de recherche de la solution.
  
• Un réel \(b\) , borne supérieure de l'intervalle de recherche de la solution.
  
• Un entier naturel  \(p\) qui détermine la précision voulue ( \(10^{-p}\) ).
  

Sortie
Un intervalle d'amplitude inférieure à  \(10^{-p}\) comprenant une solution à l'équation \(f(x)=0\) .

Algorithme

Tant que  \(b-a\) est supérieur ou égale à  \(10^{-p}\)  :

• on assigne à une variable  \(m\) la valeur  \(\dfrac{b-a}{2}\)  ;
  
• si  \(f(a)\) et  \(f(m)\) sont de même signe : on assigne à la variable  \(a\) la valeur de  \(m\)  ;
• sinon, on assigne à la variable  \(b\) la valeur de  \(m\) .
  

On renvoie finalement les valeurs de  \(a\)  et  \(b\) .

Exercice

Compléter la fonction dicho ci-dessous en vous aidant du pseudo-algorithme ci-dessus pour que celle-ci permette d'obtenir une valeur approchée à  \(10^{-p}\) d'une solution de l'équation \(f(x)=0\) sur l'intervalle \([a;b]\) .
À l'aide de cette fonction, déterminer une valeur approchée à \(10^{-3}\)  près d'une solution de l'équation \(x^3-3x+1=0\)  sur l'intervalle \([1;2]\) .

def f(x):
    return ...

def dicho(f, a, b, p):
    while b-a ...
        m = ...
        if ... :
            a = ...
        else :
            ...
    return a, b